અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવો કે $(x-3)$ એ બહુપદી $p(x) = 12x^3 - 31x^2 - 18x + 9$ નો એક અવયવ છે અને ત્યારબાદ બહુપદીના અવયવ પાડો.

(A) પગલું $1$: $(x-3)$ અવયવ છે તે દર્શાવવા માટે,આપણે $p(3)$ ની કિંમત શોધીએ.
$p(3) = 12(3)^3 - 31(3)^2 - 18(3) + 9$
$p(3) = 12(27) - 31(9) - 54 + 9$
$p(3) = 324 - 279 - 54 + 9 = 0$.
અહીં $p(3) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ $(x-3)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
પગલું $2$: $p(x)$ ને $(x-3)$ વડે ભાગતા દ્વિઘાત બહુપદી મળે.
$12x^3 - 31x^2 - 18x + 9 = (x-3)(12x^2 + 5x - 3)$.
પગલું $3$: દ્વિઘાત બહુપદી $12x^2 + 5x - 3$ ના અવયવ પાડો.
$12x^2 + 9x - 4x - 3 = 3x(4x + 3) - 1(4x + 3) = (3x - 1)(4x + 3)$.
આમ,સંપૂર્ણ અવયવીકરણ $(x-3)(3x-1)(4x+3)$ છે.