मान लीजिए f(x) = begin{cases} tan^{-1}(frac{a | vedclass

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Question

(B) $f(x)$ के $x = \frac{1}{2}$ पर सतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा,दाएँ हाथ की सीमा और फलन का मान समान होना चाहिए: $\lim_{x 	o \frac{1}{2}^-} 	an^{

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$2$

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(B) $f(x)$ के $x = \frac{1}{2}$ पर सतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा,दाएँ हाथ की सीमा और फलन का मान समान होना चाहिए: $\lim_{x 	o \frac{1}{2}^-} 	an^{-1}(\frac{\alpha x + \beta}{\gamma}) = 0$ और $\lim_{x 	o \frac{1}{2}^+} \ln(\beta x^2 + 2) = 0$। $\ln(\frac{\beta}{4} + 2) = 0$ से,हमें $\frac{\beta}{4} + 2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\beta = -4$। $	an^{-1}(\frac{\alpha/2 + \beta}{\gamma}) = 0$ से,हमें $\frac{\alpha}{2} + \beta = 0$ प्राप्त होता है। $\beta = -4$ रखने पर,$\frac{\alpha}{2} - 4 = 0$ मिलता है,इसलिए $\alpha = 8$। $x = \frac{1}{2}$ पर अवकलनीयता के लिए,दोनों पक्षों के अवकलज समान होने चाहिए: $\frac{d}{dx} [	an^{-1}(\frac{\alpha x + \beta}{\gamma})] = \frac{1}{1 + (\frac{\alpha x + \beta}{\gamma})^2} \cdot \frac{\alpha}{\gamma}$। $x = \frac{1}{2}$ पर,यह $\frac{\alpha}{\gamma}$ होता है (क्योंकि $\alpha x + \beta = 0$)। $\frac{d}{dx} [\ln(\beta x^2 + 2)] = \frac{2 \beta x}{\beta x^2 + 2}$। $x = \frac{1}{2}$ पर,यह $\frac{\beta}{-4/4 + 2} = \frac{-4}{1} = -4$ होता है। अतः,$\frac{\alpha}{\gamma} = -4 \Rightarrow \frac{8}{\gamma} = -4 \Rightarrow \gamma = -2$। अंत में,$\alpha + \beta + \gamma = 8 - 4 - 2 = 2$।

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