m द्रव्यमान और r त्रिज्या वाली एक वलय (ring) | vedclass

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Question

(C) $m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली वलय की अक्ष पर $x$ दूरी पर गुरुत्वीय तीव्रता $E$ इस प्रकार दी जाती है:$E = \frac{Gmx}{(r^2 + x^2)^{3/2}}$अधिकतम

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2Gm}{3\sqrt{3}r^2}$

Vedclass · Answer

(C) $m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली वलय की अक्ष पर $x$ दूरी पर गुरुत्वीय तीव्रता $E$ इस प्रकार दी जाती है:$E = \frac{Gmx}{(r^2 + x^2)^{3/2}}$अधिकतम तीव्रता ज्ञात करने के लिए,हम $E$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:$\frac{dE}{dx} = Gm \left[ \frac{(r^2 + x^2)^{3/2} - x \cdot \frac{3}{2}(r^2 + x^2)^{1/2} \cdot 2x}{(r^2 + x^2)^3} ight] = 0$$(r^2 + x^2)^{3/2} - 3x^2(r^2 + x^2)^{1/2} = 0$$r^2 + x^2 = 3x^2 \implies 2x^2 = r^2 \implies x = \frac{r}{\sqrt{2}}$$x = \frac{r}{\sqrt{2}}$ का मान $E$ के समीकरण में रखने पर:$E_{	ext{max}} = \frac{Gm(r/\sqrt{2})}{(r^2 + r^2/2)^{3/2}} = \frac{Gmr/\sqrt{2}}{(3r^2/2)^{3/2}} = \frac{Gmr/\sqrt{2}}{(3\sqrt{3}r^3)/(2\sqrt{2})} = \frac{Gmr}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}r^3} = \frac{2Gm}{3\sqrt{3}r^2}$

$m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली एक वलय (ring) पर विचार करें। वलय की अक्ष पर अधिकतम गुरुत्वीय तीव्रता का मान क्या होगा?

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