विराम अवस्था में एक मुक्त न्यूट्रॉन के क्षय पर विचार करें: $n \rightarrow p + e^-$. दर्शाइए कि इस प्रकार का द्वि-पिंड क्षय अनिवार्य रूप से एक निश्चित ऊर्जा का इलेक्ट्रॉन देगा और इसलिए,यह न्यूट्रॉन या नाभिक के $\beta$-क्षय में देखे गए निरंतर ऊर्जा वितरण को स्पष्ट नहीं कर सकता है।

(N/A) विराम अवस्था में एक मुक्त न्यूट्रॉन के द्वि-पिंड क्षय $(n \rightarrow p + e^-)$ के लिए,ऊर्जा और संवेग का संरक्षण लागू होना चाहिए।
मान लीजिए $M_n$,$M_p$,और $m_e$ क्रमशः न्यूट्रॉन,प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान हैं।
ऊर्जा संरक्षण से: $M_n c^2 = E_p + E_e$,जहाँ $E_p$ और $E_e$ प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जाएँ हैं।
संवेग संरक्षण से: $\vec{p}_p + \vec{p}_e = 0$,जिसका अर्थ है $|\vec{p}_p| = |\vec{p}_e| = p$.
सापेक्षतावादी ऊर्जा-संवेग संबंध $E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $E_p^2 = p^2 c^2 + M_p^2 c^4$ और $E_e^2 = p^2 c^2 + m_e^2 c^4$ है।
प्रोटॉन ऊर्जा समीकरण में $p^2 c^2 = E_e^2 - m_e^2 c^4$ प्रतिस्थापित करने पर: $E_p = \sqrt{E_e^2 - m_e^2 c^4 + M_p^2 c^4}$.
इसे ऊर्जा संरक्षण समीकरण में रखने पर: $M_n c^2 = E_e + \sqrt{E_e^2 - m_e^2 c^4 + M_p^2 c^4}$.
इस समीकरण को $E_e$ के लिए हल करने पर पता चलता है कि $E_e$ कणों के द्रव्यमान द्वारा निर्धारित एक निश्चित मान है,जिसका अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन के पास एक निश्चित (विविक्त) ऊर्जा होनी चाहिए।
चूंकि देखा गया $\beta$-क्षय स्पेक्ट्रम निरंतर है,यह द्वि-पिंड मॉडल अपर्याप्त है। वास्तविक क्षय एक त्रि-पिंड प्रक्रिया है: $n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e$,जहाँ एंटीन्यूट्रिनो शेष ऊर्जा को ले जाता है,जिससे इलेक्ट्रॉन निरंतर ऊर्जा सीमा प्राप्त कर सकता है।