निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:कथन-I : एक फलन | vedclass

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Question

(D) कथन-$I$: एक फलन $f: A \rightarrow B$ एकैकी (injective) होता है यदि $A$ के भिन्न अवयवों के $B$ में भिन्न प्रतिबिंब हों। यह परिभाषा $f(x) = f(y) \Ri

Vedclass · Accepted Answer

न तो कथन-$I$ और न ही कथन-$II$ सत्य है

Vedclass · Answer

(D) कथन-$I$: एक फलन $f: A ightarrow B$ एकैकी (injective) होता है यदि $A$ के भिन्न अवयवों के $B$ में भिन्न प्रतिबिंब हों। यह परिभाषा $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$ के समतुल्य है। दिया गया कथन $f(x) 
eq f(y) \Rightarrow x 
eq y$ वास्तव में $x = y \Rightarrow f(x) = f(y)$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) है,जो कि फलन की परिभाषा है,न कि एकैकी फलन की। अतः,कथन-$I$ असत्य है।कथन-$II$: एक संबंध $f: A ightarrow B$ एक फलन है यदि $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में एक अद्वितीय प्रतिबिंब हो। शर्त $x 
eq y \Rightarrow f(x) 
eq f(y)$ एक एकैकी फलन को परिभाषित करती है,न कि स्वयं फलन को। एक फलन में अलग-अलग इनपुट के समान आउटपुट हो सकते हैं (बहु-एक)। अतः,कथन-$II$ असत्य है।इसलिए,दोनों कथन असत्य हैं।

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सिद्ध कीजिए कि फलन $f : R \rightarrow \{ x \in R : -1 < x < 1 \}$ जो $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ द्वारा परिभाषित है,एकैकी और आच्छादक फलन है।

मान लीजिए $f: N \rightarrow N$ इस प्रकार परिभाषित है कि $f(n) = \begin{cases} \frac{n+1}{2}; & \text{यदि } n \text{ विषम है} \\ \frac{n}{2}; & \text{यदि } n \text{ सम है} \end{cases}$। तो $f$ है:

दर्शाइए कि फलन $f: N \rightarrow N$ जो $f(x) = 2x$ द्वारा परिभाषित है,एकैकी (one-one) है लेकिन आच्छादक (onto) नहीं है।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर निम्नलिखित में से कौन सा फलन एकैकी और आच्छादक (bijective) है?

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