अतिपरवलय frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1 पर व | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए नाभियाँ $F_1(-ae, 0)$ और $F_2(ae, 0)$ हैं। दिया गया है $F_1 = P(-3, 0)$,इसलिए $ae = 3$.नाभिलंब $F_2(ae, 0)$ से गुजरता है और इसके अंतिम ब

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$1944$

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(C) मान लीजिए नाभियाँ $F_1(-ae, 0)$ और $F_2(ae, 0)$ हैं। दिया गया है $F_1 = P(-3, 0)$,इसलिए $ae = 3$.नाभिलंब $F_2(ae, 0)$ से गुजरता है और इसके अंतिम बिंदु $L_1(ae, b^2/a)$ और $L_2(ae, -b^2/a)$ हैं।कोण $\angle L_1 P L_2 = 90^\circ$ है। चूँकि त्रिभुज $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए कोण $\angle L_1 P F_2 = 45^\circ$ है।$	riangle L_1 P F_2$ में,$	an 45^\circ = \frac{L_1 F_2}{P F_2} = \frac{b^2/a}{2ae} = 1$.अतः,$b^2 = 2a(ae) = 2a(3) = 6a$.अतिपरवलय के गुण $b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2e^2 - a^2$ का उपयोग करते हुए,हमें $6a = 9 - a^2$ मिलता है,इसलिए $a^2 + 6a - 9 = 0$.$a$ के लिए हल करने पर,$a = -3 \pm 3\sqrt{2}$। चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 3\sqrt{2} - 3$.तब $a^2 = 27 - 18\sqrt{2}$ और $b^2 = 18\sqrt{2} - 18$.$a^2b^2 = (27 - 18\sqrt{2})(18\sqrt{2} - 18) = 810\sqrt{2} - 1134$.$\alpha\sqrt{2} - \beta$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = 810$ और $\beta = 1134$.इसलिए,$\alpha + \beta = 810 + 1134 = 1944$.

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