समुच्चय $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $^*$ को $a \,^* \, b = \begin{cases} a+b, & \text{यदि } a+b < 6 \\ a+b-6, & \text{यदि } a+b \geq 6 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $0$ इस संक्रिया के लिए तत्समक है और समुच्चय का प्रत्येक अवयव $a \neq 0$ व्युत्क्रमणीय है,जहाँ $6-a$ अवयव $a$ का प्रतिलोम है।
(A) माना $X = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
$X$ पर संक्रिया $^*$ को $a \,^* \, b = \begin{cases} a+b, & \text{यदि } a+b < 6 \\ a+b-6, & \text{यदि } a+b \geq 6 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
$X$ का एक अवयव $e$,संक्रिया $^*$ के लिए तत्समक अवयव कहलाता है यदि सभी $a \in X$ के लिए $a \,^* \, e = a = e \,^* \, a$ हो।
$a \in X$ के लिए,हमारे पास है:
$a \,^* \, 0 = a + 0 = a$ (क्योंकि $a \in X \Rightarrow a+0 < 6$)
$0 \,^* \, a = 0 + a = a$ (क्योंकि $a \in X \Rightarrow 0+a < 6$)
अतः,सभी $a \in X$ के लिए $a \,^* \, 0 = a = 0 \,^* \, a$ है।
इस प्रकार,$0$ दी गई संक्रिया $^*$ के लिए तत्समक अवयव है।
$X$ का एक अवयव $a$ व्युत्क्रमणीय कहलाता है यदि कोई ऐसा $b \in X$ मौजूद हो कि $a \,^* \, b = 0 = b \,^* \, a$ हो।
यदि $a \neq 0$ है,तो माना $b = 6-a$ है। चूँकि $a \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$,इसलिए $b \in \{5, 4, 3, 2, 1\} \subset X$ है।
तब $a \,^* \, b = a + (6-a) - 6 = 0$ (क्योंकि $a+b = 6 \geq 6$)।
इसी प्रकार,$b \,^* \, a = (6-a) + a - 6 = 0$ है।
अतः,$6-a$ प्रत्येक $a \in X, a \neq 0$ के लिए $a$ का प्रतिलोम है।
$X$ पर संक्रिया $^*$ को $a \,^* \, b = \begin{cases} a+b, & \text{यदि } a+b < 6 \\ a+b-6, & \text{यदि } a+b \geq 6 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
$X$ का एक अवयव $e$,संक्रिया $^*$ के लिए तत्समक अवयव कहलाता है यदि सभी $a \in X$ के लिए $a \,^* \, e = a = e \,^* \, a$ हो।
$a \in X$ के लिए,हमारे पास है:
$a \,^* \, 0 = a + 0 = a$ (क्योंकि $a \in X \Rightarrow a+0 < 6$)
$0 \,^* \, a = 0 + a = a$ (क्योंकि $a \in X \Rightarrow 0+a < 6$)
अतः,सभी $a \in X$ के लिए $a \,^* \, 0 = a = 0 \,^* \, a$ है।
इस प्रकार,$0$ दी गई संक्रिया $^*$ के लिए तत्समक अवयव है।
$X$ का एक अवयव $a$ व्युत्क्रमणीय कहलाता है यदि कोई ऐसा $b \in X$ मौजूद हो कि $a \,^* \, b = 0 = b \,^* \, a$ हो।
यदि $a \neq 0$ है,तो माना $b = 6-a$ है। चूँकि $a \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$,इसलिए $b \in \{5, 4, 3, 2, 1\} \subset X$ है।
तब $a \,^* \, b = a + (6-a) - 6 = 0$ (क्योंकि $a+b = 6 \geq 6$)।
इसी प्रकार,$b \,^* \, a = (6-a) + a - 6 = 0$ है।
अतः,$6-a$ प्रत्येक $a \in X, a \neq 0$ के लिए $a$ का प्रतिलोम है।
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