એક પરિમાણમાં પદાર્થ પર લાગતા ચલ બળ માટે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય તારવો.

(N/A) ધારો કે $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ $X$-અક્ષ પર ચલ બળ $F(x)$ ની અસર હેઠળ ગતિ કરે છે. પદાર્થની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષે $K$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dK}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right) = \frac{1}{2}m \cdot 2v \cdot \frac{dv}{dt} = mv \cdot a$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dK}{dt} = Fv$
વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી:
$\frac{dK}{dt} = F \frac{dx}{dt}$
બંને બાજુ $dt$ વડે ગુણતા:
$dK = F dx$
પ્રારંભિક સ્થાન $x_i$ (જ્યાં ગતિઊર્જા $K_i$ છે) થી અંતિમ સ્થાન $x_f$ (જ્યાં ગતિઊર્જા $K_f$ છે) સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{K_i}^{K_f} dK = \int_{x_i}^{x_f} F(x) dx$
$K_f - K_i = \int_{x_i}^{x_f} F(x) dx$
ચલ બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \int_{x_i}^{x_f} F(x) dx$ હોવાથી:
$W = K_f - K_i = \Delta K$
આ ચલ બળ માટેનું કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય છે. તે દર્શાવે છે કે પદાર્થ પર લાગતા પરિણામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.