निर्धारित कीजिए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किसका एक गुणनखंड $(x + 1)$ है: $x^{3} - x^{2} - (2 + \sqrt{2})x + \sqrt{2}$

(NONE) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, $(x + 1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है यदि $p(-1) = 0$ हो।
माना $p(x) = x^{3} - x^{2} - (2 + \sqrt{2})x + \sqrt{2}$ है।
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-1) = (-1)^{3} - (-1)^{2} - (2 + \sqrt{2})(-1) + \sqrt{2}$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$p(-1) = -1 - 1 + (2 + \sqrt{2}) + \sqrt{2}$
$p(-1) = -2 + 2 + \sqrt{2} + \sqrt{2}$
$p(-1) = 2\sqrt{2}$
चूंकि $p(-1) = 2\sqrt{2} \neq 0$ है, इसलिए $(x + 1)$ दिए गए बहुपद का गुणनखंड नहीं है।