int frac{sqrt{cot x}}{sin x cos x} d x = -f(x | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x$. अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\frac{\sin x \

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$-2 \sqrt{\cot x}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x$. अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} d x = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{	an x} \sec^2 x d x$. चूँकि $\frac{1}{	an x} = \cot x$,इसलिए $I = \int \sqrt{\cot x} \cdot \cot x \cdot \sec^2 x d x = \int (\cot x)^{3/2} \sec^2 x d x$. वैकल्पिक रूप से,हर को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^2 x} d x = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\cot x \cdot \cos^2 x} d x = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\cot x}} d x$. माना $u = \cot x$,तब $du = -\csc^2 x d x$,इसलिए $d x = -\sin^2 x du$. $I = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{\sin x \cos x} \cdot (-\sin^2 x du) = -\int \frac{\sin x}{\cos x \sqrt{u}} du = -\int \frac{1}{u \sqrt{u}} du = -\int u^{-3/2} du$. $I = -\left( \frac{u^{-1/2}}{-1/2} ight) + c = 2 \sqrt{u} + c = 2 \sqrt{\cot x} + c$. दिया गया है कि $\int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x = -f(x) + c$,अतः $-f(x) = 2 \sqrt{\cot x}$,जिससे $f(x) = -2 \sqrt{\cot x}$ प्राप्त होता है।

$\int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x = -f(x) + c$ है,तो $f(x)$ ज्ञात कीजिए।

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