समाकलन int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sin x}{1+co | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} \,d x$ है।$\cos x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $-\sin x \,d x = d t$ या

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$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} \,d x$ है।$\cos x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $-\sin x \,d x = d t$ या $\sin x \,d x = -d t$ है।समाकलन की सीमाओं को बदलने पर:जब $x = 0$,तब $t = \cos(0) = 1$ है।जब $x = \frac{\pi}{2}$,तब $t = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ है।अब,इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int_{1}^{0} \frac{-d t}{1+t^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{d t}{1+t^{2}}$ है।मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{1+t^2} \,dt = 	an^{-1} t + C$ का उपयोग करने पर:$I = [	an^{-1} t]_{0}^{1}$ है।सीमाओं पर मान ज्ञात करने पर:$I = 	an^{-1}(1) - 	an^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$ है।

समाकलन $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} \,d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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