$6x^2 + 17x + 5$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અને અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને અવયવ પાડો.

(N/A) ઉકેલ $1:$ (મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીત)
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ શોધવાની જરૂર છે કે જેથી $p + q = 17$ અને $pq = 6 \times 5 = 30$ થાય.
$30$ ના અવયવો $(1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6)$ છે.
આમાંથી,$2 + 15 = 17$ થાય છે.
તેથી,$6x^2 + 17x + 5 = 6x^2 + 2x + 15x + 5$
$= 2x(3x + 1) + 5(3x + 1)$
$= (3x + 1)(2x + 5)$.
ઉકેલ $2:$ (અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને)
ધારો કે $p(x) = 6x^2 + 17x + 5 = 6(x^2 + \frac{17}{6}x + \frac{5}{6})$.
ધારો કે $a$ અને $b$ એ દ્વિઘાત પદાવલિના શૂન્યો છે. તો $ab = \frac{5}{6}$.
શક્ય સંમેય બીજ $\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{2}, \pm 1$ છે.
$p(-\frac{1}{3}) = 6(-\frac{1}{3})^2 + 17(-\frac{1}{3}) + 5 = 6(\frac{1}{9}) - \frac{17}{3} + 5 = \frac{2}{3} - \frac{17}{3} + \frac{15}{3} = 0$ મળે છે.
તેથી,$(x + \frac{1}{3})$ એક અવયવ છે.
$p(-\frac{5}{2}) = 6(-\frac{5}{2})^2 + 17(-\frac{5}{2}) + 5 = 6(\frac{25}{4}) - \frac{85}{2} + 5 = \frac{75}{2} - \frac{85}{2} + \frac{10}{2} = 0$ મળે છે.
તેથી,$(x + \frac{5}{2})$ એક અવયવ છે.
તેથી,$6x^2 + 17x + 5 = 6(x + \frac{1}{3})(x + \frac{5}{2}) = 6(\frac{3x+1}{3})(\frac{2x+5}{2}) = (3x + 1)(2x + 5)$.