$\int \frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} d x$ ज्ञात कीजिए।

माना $\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}$ और $x^{2}=y$ रखें।
तब $\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}=\frac{y}{(y+1)(y+4)}$।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,$\frac{y}{(y+1)(y+4)} = \frac{A}{y+1} + \frac{B}{y+4}$ लिखें।
इसका अर्थ है $y = A(y+4) + B(y+1)$।
$y$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर,हमें $A+B=1$ और $4A+B=0$ प्राप्त होता है।
इन्हें हल करने पर,हमें $A = -\frac{1}{3}$ और $B = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} = -\frac{1}{3(x^{2}+1)} + \frac{4}{3(x^{2}+4)}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{x^{2} dx}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} = -\frac{1}{3} \int \frac{dx}{x^{2}+1} + \frac{4}{3} \int \frac{dx}{x^{2}+4}$।
मानक समाकलन $\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= -\frac{1}{3} \tan^{-1}(x) + \frac{4}{3} \times \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C$।
$= -\frac{1}{3} \tan^{-1}(x) + \frac{2}{3} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C$।