रेखा x=frac{a}{sqrt{2}} द्वारा काटे गए वृत्त | vedclass

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Question

(A) रेखा $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ द्वारा काटे गए वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ के छोटे भाग का क्षेत्रफल,प्रथम और चतुर्थ चतुर्थांश में वृत्त और रेखा द्वारा प

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$\frac{a^{2}}{2}\left(\frac{\pi}{2}-1\right)$

Vedclass · Answer

(A) रेखा $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ द्वारा काटे गए वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ के छोटे भाग का क्षेत्रफल,प्रथम और चतुर्थ चतुर्थांश में वृत्त और रेखा द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है।चूंकि वृत्त $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में स्थित क्षेत्र के क्षेत्रफल का दोगुना होगा।क्षेत्रफल $= 2 \int_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^{a} y \, dx = 2 \int_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx$सूत्र $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)$ का उपयोग करते हुए:क्षेत्रफल $= 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) \right]_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^{a}$$= 2 \left[ \left( 0 + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(1) \right) - \left( \frac{a}{2\sqrt{2}} \sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right) \right]$$= 2 \left[ \frac{a^{2}}{2} \left(\frac{\pi}{2}\right) - \left( \frac{a}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} + \frac{a^{2}}{2} \left(\frac{\pi}{4}\right) \right) \right]$$= 2 \left[ \frac{a^{2}\pi}{4} - \frac{a^{2}}{4} - \frac{a^{2}\pi}{8} \right] = 2 \left[ \frac{2a^{2}\pi - a^{2}\pi}{8} - \frac{a^{2}}{4} \right] = 2 \left[ \frac{a^{2}\pi}{8} - \frac{a^{2}}{4} \right] = \frac{a^{2}\pi}{4} - \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{2}}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right)$.

रेखा $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ द्वारा काटे गए वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ के छोटे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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