उन अंतरालों को ज्ञात कीजिए जिनमें फलन $f(x)=2 x^{2}-3 x$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$
$(a)$ वर्धमान
$(b)$ ह्रासमान
है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x)=2 x^{2}-3 x$ है।
सबसे पहले,हम फलन का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - 3x) = 4x - 3$.
क्रांतिक बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए,हम $f^{\prime}(x) = 0$ रखते हैं:
$4x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{4}$.
बिंदु $x = \frac{3}{4}$ वास्तविक संख्या रेखा को दो असंयुक्त अंतरालों में विभाजित करता है: $\left(-\infty, \frac{3}{4}\right)$ और $\left(\frac{3}{4}, \infty\right)$.
$(a)$ अंतराल $\left(\frac{3}{4}, \infty\right)$ के लिए,एक परीक्षण बिंदु $x = 1$ लें। तब $f^{\prime}(1) = 4(1) - 3 = 1 > 0$ है। चूंकि $f^{\prime}(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f$ अंतराल $\left(\frac{3}{4}, \infty\right)$ में निरंतर वर्धमान है।
$(b)$ अंतराल $\left(-\infty, \frac{3}{4}\right)$ के लिए,एक परीक्षण बिंदु $x = 0$ लें। तब $f^{\prime}(0) = 4(0) - 3 = -3 < 0$ है। चूंकि $f^{\prime}(x) < 0$ है,इसलिए फलन $f$ अंतराल $\left(-\infty, \frac{3}{4}\right)$ में निरंतर ह्रासमान है।