પાંચ પત્રોને યાદચ્છિક રીતે પાંચ સરનામાંવાળા પરબિડીયાઓમાં મૂકવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે બધા પત્રો તેમના યોગ્ય પરબિડીયાઓમાં મોકલવામાં આવ્યા નથી.

એક વ્યક્તિ $6$ મિત્રોને પત્રો લખે છે અને અનુરૂપ પરબિડીયાઓ પર સરનામાં લખે છે. પત્રોને પરબિડીયાઓમાં કેટલી રીતે મૂકી શકાય કે જેથી ઓછામાં ઓછા બે પત્રો ખોટા પરબિડીયામાં હોય?
નોંધ : $D_n = n! \left( \sum_{i=0}^n \frac{(-1)^i}{i!} \right)$

$5$ પરિણીત યુગલોમાં, જો $5$ પુરુષોના નામ તેમની પત્નીઓના નામ સાથે યાદચ્છિક રીતે જોડવામાં આવે, તો સંભાવના શોધો કે કોઈ પણ પુરુષ તેની પત્નીના નામ સાથે જોડાયેલ નથી.

$15$ વ્યક્તિઓને $3, 5$ અને $7$ વ્યક્તિઓના $3$ જૂથોમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી બે ચોક્કસ વ્યક્તિઓ $5$ વ્યક્તિઓના જૂથમાં ન હોય.

જો $5$ અલગ-અલગ વ્યક્તિઓને લખેલા $5$ પત્રો અને તેમને સંબોધિત $5$ પરબિડીયાઓ હોય,તો આ પત્રોને એવી રીતે ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે કે જેથી કોઈ પણ પત્ર તેના સંબંધિત પરબિડીયામાં ન જાય?

$12345$ ના તમામ અંકોની એવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા શોધો કે જેમાં ઓછામાં ઓછા $3$ અંકો તેમના મૂળ સ્થાને ન હોય.