$|z_1| = 12$ અને $|z_2 - (3 + 4i)| = 5$ નું સમાધાન કરતા તમામ સંકર સંખ્યાઓ $z_1$ અને $z_2$ માટે,$|z_1 - z_2|$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય કેટલું થાય?

ધારો કે $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_{10}$ એ ધન મૂલ્યના ખૂણાઓ (રેડિયનમાં) છે જેથી $\theta_1+\theta_2+\ldots+\theta_{10}=2 \pi$ થાય. સંકર સંખ્યાઓ $z_1=e^{i \theta_1}, z_k=z_{k-1} e^{i \theta_k}$ વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં $k=2,3, \ldots, 10$ અને $i=\sqrt{-1}$. નીચે આપેલા વિધાનો $P$ અને $Q$ ધ્યાનમાં લો:
$P: |z_2-z_1|+|z_3-z_2|+\ldots+|z_{10}-z_9|+|z_1-z_{10}| \leq 2 \pi$
$Q: |z_2^2-z_1^2|+|z_3^2-z_2^2|+\ldots+|z_{10}^2-z_9^2|+|z_1^2-z_{10}^2| \leq 4 \pi$
તો,

ધારો કે $S = \{z \in \mathbb{C} : |z-1|=1 \text{ અને } (\sqrt{2}-1)(z+\bar{z}) - i(z-\bar{z}) = 2\sqrt{2}\}$. ધારો કે $z_1, z_2 \in S$ એવા છે કે જેથી $|z_1| = \max_{z \in S} |z|$ અને $|z_2| = \min_{z \in S} |z|$. તો $|\sqrt{2}z_1 - z_2|^2$ ની કિંમત શોધો:

જો $z=x+iy, x, y \in R$ અને $\frac{\bar{z}-1}{\bar{z}-i}$ નો કાલ્પનિક ભાગ $1$ હોય,તો $z$ નો બિંદુપથ શું છે?

ધારો કે $u = \frac{2z + i}{z - ki}$, જ્યાં $z = x + iy$ અને $k > 0$ છે. જો $\operatorname{Re}(u) + \operatorname{Im}(u) = 1$ દ્વારા દર્શાવેલ વક્ર $y$-અક્ષને $P$ અને $Q$ બિંદુઓ પર છેદે છે જ્યાં $PQ = 5$ હોય, તો $k$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $z$ એક એવી સંકર સંખ્યા હોય કે જેથી $|z| \geq 1$ થાય,તો $\left|z+\frac{1}{2}(3+4 i)\right|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.