$|z_1| = 12$ और $|z_2 - 3 - 4i| = 5$ को संतुष्ट करने वाली सभी सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2$ के लिए,$|z_1 - z_2|$ का न्यूनतम मान है

यदि $\alpha$ के न्यूनतम और अधिकतम वास्तविक मान,जिनके लिए समीकरण $z+\alpha|z-1|+2i=0$ ($z \in \mathbb{C}$ और $i=\sqrt{-1}$) का एक हल है,क्रमशः $p$ और $q$ हैं; तो $4(p^2+q^2)$ का मान .......... है।

यदि $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$ और $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ है,तो $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि सम्मिश्र संख्याएँ $z_1$ और $z_2$ दोनों $z + \overline{z} = 2 |z - 1|$ और $\arg(z_1 - z_2) = \frac{\pi}{3}$ को संतुष्ट करती हैं,तो $\text{Im}(z_1 + z_2)$ का मान क्या होगा,जहाँ $\text{Im}(z)$,$z$ का काल्पनिक भाग दर्शाता है?

यदि $\frac{|3z - i|}{|4z - 2 + 3i|} = K$ $(K \in \mathbb{R}^+)$ एक सीधी रेखा को दर्शाता है,तो $K$ का मान क्या है?

यदि $\left| z - \frac{1 + 3i}{2} \right| = \frac{\sqrt{10}}{2}$ और $P$,$Q$,तथा $R$ आर्गंड समतल में क्रमशः सम्मिश्र संख्याओं $z$,$z e^{i \pi / 3}$,और $z(1 + e^{i \pi / 3})$ को निरूपित करने वाले बिंदु हैं,तो त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल क्या है?