धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए,यदि $4 a_n = (n^2 + 5n + 6)$ और $S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{a_k}\right)$ है,तो $507 S_{2025}$ का मान क्या है?

$\sum\limits_{r = 0}^{100} {(r^2 + 4r + 4)(r + 1)!}$ का मान :-

यदि श्रेणी $\frac{4(1)}{1+4(1)^4}+\frac{4(2)}{1+4(2)^4}+\frac{4(3)}{1+4(3)^4}+\ldots$ के प्रथम $10$ पदों का योग $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $\operatorname{gcd}(m, n)=1$,तो $m+n$ का मान . . . . . . है।

यदि $\sum\limits_{n = 1}^5 {\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} = \frac{k}{3}} $ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}}}{{{1^3}}} + \frac{{\frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2}}}{{{1^3} + {2^3}}} + \frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{2}}}{{{1^3} + {2^3} + {3^3}}} + \dots + n \text{ पद} =$

यदि $\frac{1}{1 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 9}+\frac{1}{9 \cdot 13}+\ldots$ के $n$ पदों का योग $= \frac{27}{109}$ है,तो $n = $