વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $\alpha$ અને $\beta$ માટે,નીચેની સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ ધ્યાનમાં લો:
$x+y-z=2, x+2y+\alpha z=1, 2x-y+z=\beta$. જો આ સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય,તો $\alpha+\beta$ ની કિંમત $.....$ છે.

ધારો કે $M = (a_{ij})$,$i, j \in \{1, 2, 3\}$,એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જ્યાં જો $j+1$ એ $i$ વડે વિભાજ્ય હોય તો $a_{ij} = 1$,અન્યથા $a_{ij} = 0$. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન (વિધાનો) સાચું છે?
$(A)$ $M$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો છે
$(B)$ એવો શૂન્યતર સ્તંભ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $M \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -a_1 \\ -a_2 \\ -a_3 \end{bmatrix}$
$(C)$ ગણ $\{X \in \mathbb{R}^3 : MX = 0, X \neq 0\}$ ખાલી નથી,જ્યાં $0 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
$(D)$ શ્રેણિક $(M - 2I)$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો છે,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ એકમ શ્રેણિક છે

જો સમીકરણ સંહતિ $3x - 2y + z = 0$,$\lambda x - 14y + 15z = 0$,અને $x + 2y + 3z = 0$ નો શૂન્યેતર ઉકેલ હોય,તો $\lambda = $

સમીકરણોની સિસ્ટમ $x+y+z=6$,$x+2y+5z=9$,$x+5y+\lambda z=\mu$ નો કોઈ ઉકેલ નથી જો

$(a, b, c)$ ની એવી કેટલી ત્રિપુટીઓ છે જેના માટે સમીકરણ સંહતિ $ax - by = 2a - b$ અને $(c + 1)x + cy = 10 - a + 3b$ ને અનંત ઉકેલો હોય અને $(x = 1, y = 3)$ એ એક ઉકેલ હોય?

જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $2x + 3y - z = -2$; $x + y + z = 4$; $x - y + |\lambda|z = 4\lambda - 4$ (જ્યાં $\lambda \in R$) ને કોઈ ઉકેલ ન હોય,તો: