प्रकाश के चार एकवर्णी और सुसंगत स्रोत,जो lamb | vedclass

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Question

(A) बहुत दूर के बिंदुओं $(|x| >> d)$ के लिए,निकटवर्ती स्रोतों से आने वाली तरंगों के बीच पथ अंतर $\Delta x = d \cos 	heta$ है। $x$-अक्ष पर एक दूरस्थ ब

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$|x| >> d$ वाले बिंदु अंधेरे दिखाई देंगे यदि $d = \lambda /4$ हो

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(A) बहुत दूर के बिंदुओं $(|x| >> d)$ के लिए,निकटवर्ती स्रोतों से आने वाली तरंगों के बीच पथ अंतर $\Delta x = d \cos 	heta$ है। $x$-अक्ष पर एक दूरस्थ बिंदु के लिए,$	heta = 0$,इसलिए $\Delta x = d$ है।दूरस्थ बिंदु पर कुल आयाम चार तरंगों का योग है: $A = A_0(1 + e^{ikd} + e^{i2kd} + e^{i3kd})$,जहाँ $k = 2\pi / \lambda$ है।यह $r = e^{ikd}$ के साथ एक गुणोत्तर श्रेणी है। योग $A = A_0 \frac{1 - e^{i4kd}}{1 - e^{ikd}}$ है।तीव्रता $I$,$|A|^2$ के समानुपाती है: $I \propto A_0^2 \left| \frac{1 - e^{i4kd}}{1 - e^{ikd}} ight|^2 = A_0^2 \frac{\sin^2(2kd)}{\sin^2(kd/2)}$।अंधेरे बिंदुओं (तीव्रता = $0$) के लिए,हमें $\sin(2kd) = 0$ की आवश्यकता है लेकिन $\sin(kd/2) 
eq 0$ होना चाहिए।$2kd = n\pi$ (जहाँ $n$ एक पूर्णांक है)। $n=1$ के लिए,$2(2\pi/\lambda)d = \pi \implies d = \lambda / 4$ है।अतः,यदि $d = \lambda / 4$ है,तो तीव्रता शून्य हो जाती है और बिंदु अंधेरे दिखाई देते हैं।

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