रचना का औचित्य भी दीजिए:
एक त्रिभुज $ABC$ खींचिए जिसमें भुजा $BC = 7 \, cm$,$\angle B = 45^{\circ}$,$\angle A = 105^{\circ}$ हो। फिर,एक ऐसे त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{4}{3}$ गुनी हों।

(A) $\angle B = 45^{\circ}, \angle A = 105^{\circ}$
त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
$105^{\circ} + 45^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}$
$\angle C = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$
वांछित त्रिभुज को इस प्रकार खींचा जा सकता है:
$1.$ $BC = 7 \, cm$,$\angle B = 45^{\circ}$,$\angle C = 30^{\circ}$ के साथ एक $\triangle ABC$ खींचिए।
$2.$ $BC$ के साथ एक न्यून कोण बनाते हुए किरण $BX$ खींचिए जो शीर्ष $A$ के विपरीत दिशा में हो।
$3.$ $BX$ पर $4$ बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4$ हो।
$4.$ $B_3C$ को मिलाइए। $B_4$ से $B_3C$ के समानांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई $BC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$5.$ $C'$ से $AC$ के समानांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BA$ को $A'$ पर प्रतिच्छेद करे। $\triangle A'BC'$ वांछित त्रिभुज है।
औचित्य:
$\triangle ABC$ और $\triangle A'BC'$ में,
$\angle ABC = \angle A'BC'$ (उभयनिष्ठ)
$\angle ACB = \angle A'C'B$ (संगत कोण)
$\triangle ABC \sim \triangle A'BC'$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{AB}{A'B} = \frac{BC}{BC'} = \frac{AC}{A'C'} \dots(1)$
$\triangle BB_3C$ और $\triangle BB_4C'$ में,
$\angle B_3BC = \angle B_4BC'$ (उभयनिष्ठ)
$\angle BB_3C = \angle BB_4C'$ (संगत कोण)
$\triangle BB_3C \sim \triangle BB_4C'$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{BC}{BC'} = \frac{BB_3}{BB_4} = \frac{3}{4} \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,$\frac{AB}{A'B} = \frac{BC}{BC'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A'B = \frac{4}{3} AB$,$BC' = \frac{4}{3} BC$,और $A'C' = \frac{4}{3} AC$। यह रचना का औचित्य सिद्ध करता है।