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Question

(B) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x = 0$ पर फलन का मान बराबर होना चाहिए: $\lim_{x \rightarrow 0^-}

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$8$

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(B) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x = 0$ पर फलन का मान बराबर होना चाहिए: $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = a$. सबसे पहले,बाएँ पक्ष की सीमा की गणना करें: $\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2 \sin^2(2x)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} 2 \cdot \left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^2 \cdot 4 = 2 \cdot 1^2 \cdot 4 = 8$. इसके बाद,दाएँ पक्ष की सीमा की गणना करें: $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$. अंश और हर को संयुग्मी $\sqrt{16+\sqrt{x}}+4$ से गुणा करने पर: $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(16+\sqrt{x})-16} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16+0}+4 = 4+4 = 8$. चूँकि दोनों सीमाएँ $8$ के बराबर हैं,इसलिए फलन के सतत होने के लिए $a = 8$ होना चाहिए।

दिया गया है कि $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos 4x}{x^2}, & x < 0 \\ a, & x = 0 \\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}, & x > 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $a = $

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यदि $f(x) = \begin{cases} 2^{1/x}, & x \ne 0 \\ 3, & x = 0 \end{cases}$ है,तो:

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} 5, & \text{यदि } x \le 2 \\ ax + b, & \text{यदि } 2 < x < 10 \\ 21, & \text{यदि } x \ge 10 \end{cases}$ एक सतत फलन है,तो $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = \frac{\log(1 + ax) - \log(1 - bx)}{x}$,$x = 0$ पर परिभाषित नहीं है। $x = 0$ पर फलन को सतत बनाने के लिए $f(0)$ का मान क्या होना चाहिए?

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