दिया गया है कि frac{d}{d x}left[int_0^{phi(x) | vedclass

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Question

(A) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int_0^{x^3} f(t) d t = x^2 \sin(2 \pi x)$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयोग करते हुए):

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$\frac{2 \pi}{3}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int_0^{x^3} f(t) d t = x^2 \sin(2 \pi x)$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयोग करते हुए):$\frac{d}{d x}\left[\int_0^{x^3} f(t) d tight] = \frac{d}{d x}\left[x^2 \sin(2 \pi x)ight]$$f(x^3) \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = 2x \sin(2 \pi x) + x^2 \cdot \cos(2 \pi x) \cdot 2 \pi$$f(x^3) \cdot 3x^2 = 2x \sin(2 \pi x) + 2 \pi x^2 \cos(2 \pi x)$दोनों पक्षों को $3x^2$ से विभाजित करने पर ($x 
eq 0$ के लिए):$f(x^3) = \frac{2x \sin(2 \pi x) + 2 \pi x^2 \cos(2 \pi x)}{3x^2}$$f(x^3) = \frac{2}{3x} \sin(2 \pi x) + \frac{2 \pi}{3} \cos(2 \pi x)$$f(8)$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x^3 = 8$ रखने पर,जिसका अर्थ है $x = 2$:$f(8) = \frac{2}{3(2)} \sin(4 \pi) + \frac{2 \pi}{3} \cos(4 \pi)$चूंकि $\sin(4 \pi) = 0$ और $\cos(4 \pi) = 1$:$f(8) = \frac{1}{3}(0) + \frac{2 \pi}{3}(1) = \frac{2 \pi}{3}$.

दिया गया है कि $\frac{d}{d x}\left[\int_0^{\phi(x)} f(t) d t\right]=f(\phi(x)) \cdot \phi^{\prime}(x)$. यदि $\int_0^{x^3} f(t) d t = x^2 \sin(2 \pi x)$ है,तो $f(8)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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वह $x$ का मान जो समाकल $\int\limits_x^{x + 3} {t(5 - t)\,dt}$ के मान को अधिकतम करता है,है

$\int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^4(2 x) \cos ^6(2 x) d x=$

यदि $f(x) = \int_{\pi^2/16}^{x^2} \frac{\sin x \cdot \sin \sqrt{\theta}}{1 + \cos^2 \sqrt{\theta}} \, d\theta$ है,तो $f'(\frac{\pi}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^{x^2} {(t - 1)(t - 4)(t - 9)} dt$,तो:

$\int_0^\pi x \sin^4 x \cos^6 x \, dx =$

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