આપેલ છે કે ત્રિઘાત બહુપદી $x^{3}-6x^{2}+3x+10$ ના શૂન્યો $a, a+b, a+2b$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a$ અને $b$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. $a$ અને $b$ ની કિંમતો તેમજ બહુપદીના શૂન્યો શોધો.

(A) ધારો કે $f(x) = x^{3}-6x^{2}+3x+10$.
આપેલ છે કે $a, (a+b),$ અને $(a+2b)$ એ $f(x)$ ના શૂન્યો છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{x^{2} \text{ નો સહગુણક}}{x^{3} \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{-6}{1} = 6$.
તેથી,$a + (a+b) + (a+2b) = 6 \Rightarrow 3a + 3b = 6 \Rightarrow a+b = 2 \Rightarrow b = 2-a \dots (i)$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= -\frac{\text{અચળ પદ}}{x^{3} \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{10}{1} = -10$.
તેથી,$a(a+b)(a+2b) = -10$.
$a+b=2$ અને $b=2-a$ મુકતા,આપણને મળે $a(2)(a+2(2-a)) = -10$.
$2a(a+4-2a) = -10 \Rightarrow 2a(4-a) = -10 \Rightarrow 8a - 2a^{2} = -10$.
$2a^{2} - 8a - 10 = 0 \Rightarrow a^{2} - 4a - 5 = 0$.
$(a-5)(a+1) = 0$.
આમ,$a = 5$ અથવા $a = -1$.
જો $a = 5$,તો $b = 2-5 = -3$. શૂન્યો $5, 5-3, 5-6$ એટલે કે $5, 2, -1$ છે.
જો $a = -1$,તો $b = 2-(-1) = 3$. શૂન્યો $-1, -1+3, -1+6$ એટલે કે $-1, 2, 5$ છે.
આમ,કિંમતો $(a=5, b=-3)$ અથવા $(a=-1, b=3)$ છે અને શૂન્યો $-1, 2, 5$ છે.