ऐसी कितनी प्राकृतिक संख्याएँ $n$ हैं जिनके लिए $n! + 10$ एक पूर्ण वर्ग है?

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$(i)$ समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक एकैकी फलनों (one-one functions) की संख्या,जहाँ $O(A) = m$ और $O(B) = n$ $(m \leq n)$ है,${}^n P_m$ द्वारा दी जाती है।
(ii) $n$ लोगों को एक वृत्ताकार मेज पर व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{(n-1)!}{2}$ है।
(iii) दी गई $n$ भिन्न वस्तुओं में से कम से कम एक वस्तु चुनने के तरीकों की संख्या $2^n - 1$ है।
(iv) $n$ अलग-अलग वस्तुओं को $k$ अलग-अलग डिब्बों में वितरित करने के तरीकों की संख्या ${}^n C_{k-1}$ है।
तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

$1, 2, 3$ और $5$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई (अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है) $4$ अंकों की संख्याएँ जो $15$ से विभाज्य हैं,उनकी संख्या $............$ है।

$PROPORTION$ शब्द के $4$ अक्षरों की व्यवस्था कितने तरीकों से की जा सकती है?

मान लीजिए $a, b, c \in \mathbb{N}$ और $a+b+c=5$ है। मान लीजिए $L$ और $M$ क्रमशः $2^a 3^b 5^c$ के न्यूनतम और अधिकतम मान हैं। तो $M-L=$

कक्षा $10$ में $5$ छात्र,कक्षा $11$ में $6$ छात्र और कक्षा $12$ में $8$ छात्र हैं। यदि उनमें से $10$ छात्रों का चयन इस प्रकार किया जाता है कि प्रत्येक कक्षा से कम से कम $2$ छात्र शामिल हों और कक्षा $10$ और $11$ के कुल $11$ छात्रों में से अधिकतम $5$ छात्र हों,तो तरीकों की संख्या $100k$ है,तो $k$ का मान $......$ है।