$k$ के कितने मानों के लिए रैखिक समीकरण निकाय $(k + 1)x + 8y = 4k$ और $kx + (k + 3)y = 3k - 1$ का कोई हल नहीं है?

यदि रैखिक समीकरण निकाय $2x - 3y = \gamma + 5$ और $\alpha x + 5y = \beta + 1$,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma \in R$ के अनंत हल हैं,तो $|9\alpha + 3\beta + 5\gamma|$ का मान किसके बराबर है?

यदि युगपत रैखिक समीकरणों $3x - 2y + z = 5k$, $2x + 3y - 2z = -5k$, और $x + 4y + 3z = k$ का अद्वितीय हल $x = \alpha, y = \beta, z = 3$ है, तो $k =$

यदि रैखिक समीकरण निकाय $8x + y + 4z = -2$,$x + y + z = 0$,और $\lambda x - 3y = \mu$ के अनंत हल हैं,तो बिंदु $\left(\lambda, \mu, -\frac{1}{2}\right)$ की समतल $8x + y + 4z + 2 = 0$ से दूरी ज्ञात कीजिए।

समीकरणों की प्रणाली $x+y+z=5, x+2y+az=9, x+2y+z=b$ असंगत है यदि

रैखिक समीकरणों के निकाय $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ और $a_3x + b_3y + c_3z + d_3 = 0$ पर विचार करें। मान लीजिए $\Delta (a,b,c)$ सारणिक $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$ को दर्शाता है। यदि $\Delta (a,b,c) \neq 0$ है,तो उपरोक्त समीकरणों के अद्वितीय हल में $x$ का मान क्या है?