જો $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ હોય,તો સાબિત કરો કે $A^n = \begin{bmatrix} 1+2n & -4n \\ n & 1-2n \end{bmatrix}$,જ્યાં $n$ એ કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે.

(N/A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$.
સાબિત કરવાનું છે: $P(n): A^n = \begin{bmatrix} 1+2n & -4n \\ n & 1-2n \end{bmatrix}$ દરેક $n \in \mathbb{N}$ માટે.
આપણે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને પરિણામ સાબિત કરીશું.
$n=1$ માટે:
$P(1): A^1 = \begin{bmatrix} 1+2(1) & -4(1) \\ 1 & 1-2(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = A$.
તેથી,$n=1$ માટે પરિણામ સત્ય છે.
ધારો કે $n=k$ માટે પરિણામ સત્ય છે:
$P(k): A^k = \begin{bmatrix} 1+2k & -4k \\ k & 1-2k \end{bmatrix}$.
હવે,આપણે સાબિત કરીશું કે $n=k+1$ માટે પરિણામ સત્ય છે:
$A^{k+1} = A^k \cdot A = \begin{bmatrix} 1+2k & -4k \\ k & 1-2k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$.
$A^{k+1} = \begin{bmatrix} 3(1+2k) - 4k & -4(1+2k) + 4k \\ 3k + 1 - 2k & -4k - (1-2k) \end{bmatrix}$.
$A^{k+1} = \begin{bmatrix} 3 + 6k - 4k & -4 - 8k + 4k \\ k + 1 & -4k - 1 + 2k \end{bmatrix}$.
$A^{k+1} = \begin{bmatrix} 3 + 2k & -4 - 4k \\ k + 1 & -1 - 2k \end{bmatrix}$.
$A^{k+1} = \begin{bmatrix} 1 + 2(k+1) & -4(k+1) \\ k+1 & 1 - 2(k+1) \end{bmatrix}$.
તેથી,$n=k+1$ માટે પરિણામ સત્ય છે.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,પરિણામ દરેક $n \in \mathbb{N}$ માટે સાચું છે.