જો $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$ હોય,તો સાબિત કરો કે $\vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{c}=\vec{c} \times \vec{a} .$ આ પરિણામનું ભૌમિતિક અર્થઘટન કરો.

(N/A) આપેલ છે કે,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$
$\Rightarrow \vec{b}=-\vec{c}-\vec{a}$
હવે,$\vec{a} \times \vec{b}=\vec{a} \times(-\vec{c}-\vec{a})$
$=(\vec{a} \times(-\vec{c}))+(\vec{a} \times(-\vec{a}))$
$=-( \vec{a} \times \vec{c} ) - 0 = \vec{c} \times \vec{a} \ldots (i)$
તે જ રીતે,$\vec{b} \times \vec{c}=(-\vec{c}-\vec{a}) \times \vec{c}$
$=(-\vec{c} \times \vec{c})+(-\vec{a} \times \vec{c})$
$=0 - (\vec{a} \times \vec{c}) = \vec{c} \times \vec{a} \ldots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને મળે છે કે $\vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{c}=\vec{c} \times \vec{a}$.
ભૌમિતિક અર્થઘટન:
જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ની ક્રમમાં લીધેલી બાજુઓ હોય,તો $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$ થાય. બે સદિશોના સદિશ ગુણાકારનું માન તે સદિશો દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે. કારણ કે $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$ છે,તેથી આ સદિશોમાંથી કોઈપણ બેને પાસપાસેની બાજુઓ તરીકે લઈને બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ સમાન છે. આ હકીકત સાથે સુસંગત છે કે આ સદિશો એક ત્રિકોણ બનાવે છે,અને સદિશ ગુણાકાર એ સદિશો દ્વારા બનતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના બમણા જેટલું મૂલ્ય દર્શાવે છે.