यदि $a, b, c, d$ $G.P.$ में हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $(a^{n}+b^{n}), (b^{n}+c^{n}), (c^{n}+d^{n})$ $G.P.$ में हैं।

(N/A) यह दिया गया है कि $a, b, c,$ और $d$ $G.P.$ में हैं।
$\therefore b^{2}=ac$ ........$(1)$
$c^{2}=bd$ ........$(2)$
$ad=bc$ ........$(3)$
यह सिद्ध करना है कि $(a^{n}+b^{n}), (b^{n}+c^{n}), (c^{n}+d^{n})$ $G.P.$ में हैं,अर्थात,
$(b^{n}+c^{n})^{2}=(a^{n}+b^{n})(c^{n}+d^{n})$
$L.H.S.$ लीजिए।
$(b^{n}+c^{n})^{2}=b^{2n}+2b^{n}c^{n}+c^{2n}$
$=(b^{2})^{n}+2b^{n}c^{n}+(c^{2})^{n}$
$=(ac)^{n}+2b^{n}c^{n}+(bd)^{n}$ [ $(1)$ और $(2)$ का उपयोग करते हुए ]
$=a^{n}c^{n}+b^{n}c^{n}+b^{n}c^{n}+b^{n}d^{n}$
$=a^{n}c^{n}+b^{n}c^{n}+a^{n}d^{n}+b^{n}d^{n}$ [ $(3)$ का उपयोग करते हुए,चूँकि $bc=ad$,इसलिए $b^{n}c^{n}=a^{n}d^{n}$ ]
$=c^{n}(a^{n}+b^{n})+d^{n}(a^{n}+b^{n})$
$=(a^{n}+b^{n})(c^{n}+d^{n}) = R.H.S.$
$\therefore (b^{n}+c^{n})^{2}=(a^{n}+b^{n})(c^{n}+d^{n})$
अतः,$(a^{n}+b^{n}), (b^{n}+c^{n}),$ और $(c^{n}+d^{n})$ $G.P.$ में हैं।