यदि log_a b + log_b c + log_c a = 0 है,जहाँ a | vedclass

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Question

(A) माना $x = \log_a b$,$y = \log_b c$,और $z = \log_c a$ है।दिया गया है कि $x + y + z = 0$ है।हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: यदि $x + y + z = 0$ है

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एक विषम अभाज्य संख्या

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(A) माना $x = \log_a b$,$y = \log_b c$,और $z = \log_c a$ है।दिया गया है कि $x + y + z = 0$ है।हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: यदि $x + y + z = 0$ है,तो $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ होता है।अब,गुणनफल $xyz = (\log_a b) \cdot (\log_b c) \cdot (\log_c a)$ पर विचार करें।आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$,$\log_b c = \frac{\ln c}{\ln b}$,और $\log_c a = \frac{\ln a}{\ln c}$ है।अतः,$xyz = \left( \frac{\ln b}{\ln a} \right) \cdot \left( \frac{\ln c}{\ln b} \right) \cdot \left( \frac{\ln a}{\ln c} \right) = 1$ है।इसलिए,$x^3 + y^3 + z^3 = 3(1) = 3$ है।चूंकि $3$ एक विषम अभाज्य संख्या है,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

यदि $\log_a b + \log_b c + \log_c a = 0$ है,जहाँ $a, b$ और $c$ इकाई से भिन्न धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $(\log_a b)^3 + (\log_b c)^3 + (\log_c a)^3$ का मान क्या है?

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