જો $a$ અને $b$ બે એકી ધન પૂર્ણાંકો હોય કે જેથી $a > b$ હોય,તો સાબિત કરો કે $\frac{a+b}{2}$ અને $\frac{a-b}{2}$ પૈકી એક સંખ્યા એકી અને બીજી બેકી છે.

ધારો કે $a$ અને $b$ એ બે એકી ધન પૂર્ણાંકો છે,તેથી આપણે તેમને $a = 2m + 1$ અને $b = 2n + 1$ તરીકે દર્શાવી શકીએ,જ્યાં $m$ અને $n$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે અને $m > n$ છે.
હવે,સરવાળો લઈએ: $\frac{a+b}{2} = \frac{(2m+1) + (2n+1)}{2} = \frac{2m + 2n + 2}{2} = m + n + 1$.
ત્યારબાદ,તફાવત લઈએ: $\frac{a-b}{2} = \frac{(2m+1) - (2n+1)}{2} = \frac{2m - 2n}{2} = m - n$.
ધારો કે $S = m + n + 1$ અને $D = m - n$.
આ બંને પરિણામો વચ્ચેનો તફાવત લઈએ: $S - D = (m + n + 1) - (m - n) = 2n + 1$.
$2n + 1$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,$S$ અને $D$ વચ્ચેનો તફાવત એકી છે.
જો બે પૂર્ણાંકો વચ્ચેનો તફાવત એકી હોય,તો તેમાંથી એક સંખ્યા બેકી અને બીજી એકી હોવી જ જોઈએ.
તેથી,$\frac{a+b}{2}$ અને $\frac{a-b}{2}$ પૈકી એક સંખ્યા એકી અને બીજી બેકી છે.