જો $p(x) = x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} - ax + 3a - 7$ ને $(x + 1)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $19$ મળે છે. $a$ ની કિંમત શોધો. તેમજ,જ્યારે $p(x)$ ને $(x + 2)$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ શોધો.

(A) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો $p(x)$ ને $(x + 1)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(-1)$ મળે.
આપેલ છે કે $p(-1) = 19$.
$p(-1) = (-1)^{4} - 2(-1)^{3} + 3(-1)^{2} - a(-1) + 3a - 7 = 19$
$1 + 2 + 3 + a + 3a - 7 = 19$
$4a - 1 = 19$
$4a = 20 \implies a = 5$.
હવે,$p(x) = x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} - 5x + 3(5) - 7 = x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} - 5x + 8$.
જ્યારે $p(x)$ ને $(x + 2)$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે,આપણે $p(-2)$ ની ગણતરી કરીશું.
$p(-2) = (-2)^{4} - 2(-2)^{3} + 3(-2)^{2} - 5(-2) + 8$
$p(-2) = 16 - 2(-8) + 3(4) + 10 + 8$
$p(-2) = 16 + 16 + 12 + 10 + 8 = 62$.
આમ,$a = 5$ અને શેષ $62$ છે.