यदि $(1+x)^{10}$ के द्विपद विस्तार में $a_r$,$x^{10-r}$ का गुणांक है,तो $\sum \limits_{r=1}^{10} r^3\left(\frac{a_r}{a_{r-1}}\right)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $\left(\sqrt{x} - \frac{6}{x^{3/2}}\right)^n$,$n \leq 15$ के द्विपद विस्तार में $\alpha$ अचर पद है। यदि विस्तार में शेष पदों के गुणांकों का योग $649$ है और $x^{-n}$ का गुणांक $\lambda \alpha$ है,तो $\lambda$ का मान $..........$ है।

यदि $\left(\sqrt{x}-\frac{k}{x^{2}}\right)^{10}$ के द्विपद विस्तार में अचर पद $405$ है,तो $|k|$ का मान क्या होगा?

${\left( {2x - \frac{1}{{2{x^2}}}} \right)^{12}}$ में $x$ से स्वतंत्र पद क्या है?

${\left( x - \frac{1}{x} \right)^6}$ के विस्तार में,अचर पद है

यदि $(3^{\frac{1}{2}} + 5^{\frac{1}{8}})^n$ के विस्तार में पूर्णांक पदों की संख्या ठीक $33$ है,तो $n$ का न्यूनतम मान क्या है?