यदि ${z_r} = \cos \frac{{r\alpha }}{{{n^2}}} + i\sin \frac{{r\alpha }}{{{n^2}}},$ जहाँ $r = 1, 2, 3, \dots, n$ है,तो $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,{z_1}{z_2}{z_3}\dots{z_n}$ का मान ज्ञात कीजिए।

प्रत्येक ग्रह सूर्य के चारों ओर एक दीर्घवृत्ताकार कक्षा में घूमता है। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$A.$ ग्रह पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल सूर्य से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
$B.$ ग्रह पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल ग्रह और सूर्य के द्रव्यमानों के गुणनफल के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
$C.$ ग्रह पर कार्य करने वाला अभिकेंद्री बल सूर्य से दूर की दिशा में होता है।
$D.$ ग्रह के सूर्य के चारों ओर परिक्रमण काल का वर्ग दीर्घवृत्ताकार कक्षा के अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन के समानुपाती होता है।
ऊपर दिए गए कथनों में से सही कथनों का चयन करें:

निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:
$1.$ भारी जल जानवरों की वृद्धि के लिए हानिकारक है।
$2.$ भारी जल $Al_4C_3$ के साथ अभिक्रिया करके ड्यूटेरेटेड एसिटिलीन बनाता है।
$3.$ $BaCl_2 \cdot 2D_2O$ अंतराकाशी ड्यूटेरेट का एक उदाहरण है।
सही कथन हैं:

$M$ द्रव्यमान के एक रॉकेट को पृथ्वी की सतह से $V$ के प्रारंभिक वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। पृथ्वी की त्रिज्या $R$ है और वायु प्रतिरोध नगण्य है,तो रॉकेट द्वारा पृथ्वी की सतह से प्राप्त अधिकतम ऊँचाई क्या होगी?

$\cos ^{-1} \left[ \cot \left\{ \sin ^{-1} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} + \cos ^{-1} \frac{\sqrt{12}}{4} + \sec ^{-1} \sqrt{2} \right\} \right]$ का मान है

सूची$-॥$ में दी गयी अभिक्रियाओं से उत्पन्न हुए प्रमुख उत्पाद सूची$-।$ में उल्लेखित नामित अभिक्रियाओं के अभिकारक हैं। सूची$-।$ में दी गयी प्रत्येक प्रविष्टि को सूची$-।I$ की उपयुक्त प्रविष्टि से सुमेल करें और उचित विकल्प को चुनें।

सूची$-I$	सूची$-II$
$(P)$ स्टीफैन अभिक्रिया	$(1)$ Toluene $\xrightarrow{\substack{\text { (i) } CrO _2 Cl _2 / CS _2 \\ \text { (ii) } H _3 O +}}$
$(Q)$ सैन्डमायर अभिक्रिया	$(2)$ Benzoic acid $\xrightarrow{\substack{\text { (i) } PCl _5 \\ \text { (iii) } NH _3 \\ \text { (iii) } P _4 O _{10}, \Delta}}$
$(R)$ हॉफमान ब्रोमामाइड निम्नीकरण अभिक्रिया	$(3)$ Nitrobenzene $\xrightarrow{\begin{array}{l}\text { (i) } Fe , HCl \\ \text { (ii) } HCl , NaNO _2 \\ \text { (273-278 K), } H _2 O \end{array}}$
$(S)$ कैनिज़ारो अभिक्रिया	$(4)$ Toluene $\xrightarrow{\begin{array}{l}\text { (i) } Cl _2 / hv , H _2 O \\ \text { (ii) } \text {Tollen 's reagent } \\ \text { (iii) } SO _2 Cl _2 \\ \text { (iv) } NH _3\end{array}}$
	$(5)$ Aniline $\xrightarrow{\substack{\text { (i) }\left( CH _3 CO \right)_2 O , \text { Pyridine } \\ \text { (ii) } HN O _3 H _{2} SO _4, 288 K \\ \text { (iii) } aq . NaOH }}$