જો $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ હોય,તો $\frac{\alpha}{a\beta + b} + \frac{\beta}{a\alpha + b} = $

ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2-x-1=0$ ના બીજ છે,જ્યાં $\alpha>\beta$. તમામ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$a_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}, n \geq 1$ અને $b_1=1$ તથા $b_n=a_{n-1}+a_{n+1}, n \geq 2$ વ્યાખ્યાયિત કરો. તો નીચેનામાંથી કયા વિકલ્પો સાચા છે?
$(1)$ $\sum_{i=1}^{n} a_i = a_{n+2}-1$ તમામ $n \geq 1$ માટે
$(2)$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{10^n} = \frac{10}{89}$
$(3)$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{10^n} = \frac{8}{89}$
$(4)$ $b_n = \alpha^n+\beta^n$ તમામ $n \geq 1$ માટે

કયું સમીકરણ એવું છે જેના બીજ એ $ax^2 + bx + c = 0$ સમીકરણના બીજના વર્ગ હોય?

$p$ ની કઈ કિંમતો માટે સમીકરણ $x^2 - 30x + p = 0$ નું એક બીજ બીજા બીજનું વર્ગ છે?

ત્રિકોણ $PQR$ માં, $\angle R = \pi / 2$ છે. જો $\tan(P/2)$ અને $\tan(Q/2)$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ સમીકરણના બીજ હોય, જ્યાં $a \neq 0$, તો નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?

સમીકરણ $x^3-13x^2+15x+189=0$ ના બે બીજ વચ્ચેનો તફાવત $2$ છે. તો સમીકરણના બીજ કયા છે?