यदि int frac{sqrt{1-x^2}}{x^4} ,dx = A(x)left | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^4} \,dx$.हम समाकलन को $I = \int \frac{x \sqrt{\frac{1}{x^2}-1}}{x^4} \,dx = \int \frac{\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{-1}{27 x^9}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^4} \,dx$.हम समाकलन को $I = \int \frac{x \sqrt{\frac{1}{x^2}-1}}{x^4} \,dx = \int \frac{\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}}{x^3} \,dx$ के रूप में लिख सकते हैं।माना $\frac{1}{x^2}-1 = t$. तब $-\frac{2}{x^3} \,dx = dt$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{x^3} \,dx = -\frac{dt}{2}$.इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = -\frac{1}{2} \int \sqrt{t} \,dt = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + c = -\frac{1}{3} t^{3/2} + c$.अब $t = \frac{1-x^2}{x^2}$ वापस रखने पर,$I = -\frac{1}{3} \left(\frac{1-x^2}{x^2}\right)^{3/2} + c = -\frac{1}{3} \frac{(\sqrt{1-x^2})^3}{(x^2)^{3/2}} + c = -\frac{1}{3x^3} (\sqrt{1-x^2})^3 + c$.इसे $A(x)(\sqrt{1-x^2})^m + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A(x) = -\frac{1}{3x^3}$ और $m = 3$ प्राप्त होता है।अतः,$(A(x))^m = \left(-\frac{1}{3x^3}\right)^3 = -\frac{1}{27x^9}$.

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