यदि int frac{2x^2+3}{(x^2-1)(x^2-4)} dx = log | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{2x^2+3}{(x^2-1)(x^2-4)} dx$. आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$x^2 = t$ रखने पर,$\frac{2t+3}{(t-1)(t-4)} = \frac{A}{t-1} + \frac

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$\frac{21}{12}$

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(B) माना $I = \int \frac{2x^2+3}{(x^2-1)(x^2-4)} dx$. आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$x^2 = t$ रखने पर,$\frac{2t+3}{(t-1)(t-4)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t-4}$. $2t+3 = A(t-4) + B(t-1)$. $t=1$ के लिए,$5 = A(-3) \implies A = -\frac{5}{3}$. $t=4$ के लिए,$11 = B(3) \implies B = \frac{11}{3}$. अतः,$\frac{2x^2+3}{(x^2-1)(x^2-4)} = \frac{-5/3}{x^2-1} + \frac{11/3}{x^2-4}$. समाकलन करने पर,$I = -\frac{5}{3} \int \frac{dx}{x^2-1} + \frac{11}{3} \int \frac{dx}{x^2-4}$. $I = -\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + \frac{11}{3} \cdot \frac{1}{4} \log \left| \frac{x-2}{x+2} \right| + c$. $I = \frac{5}{6} \log \left| \frac{x+1}{x-1} \right| + \frac{11}{12} \log \left| \frac{x-2}{x+2} \right| + c$. दिए गए रूप से तुलना करने पर,$a = \frac{11}{12}$ और $b = \frac{5}{6} = \frac{10}{12}$. अतः,$a+b = \frac{11}{12} + \frac{10}{12} = \frac{21}{12}$.

यदि $\int \frac{2x^2+3}{(x^2-1)(x^2-4)} dx = \log \left[\left(\frac{x-2}{x+2}\right)^a \cdot \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^b\right] + c$,(जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है),तो $a+b$ का मान ज्ञात कीजिए।

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