यदि A,n कोटि का एक विषम-सममित आव्यूह (skew-sy | vedclass

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Question

(C) माना $X = C^T AC$ है। चूँकि $X$,$1 	imes n$ आव्यूह का $n 	imes n$ आव्यूह और फिर $n 	imes 1$ आव्यूह के साथ गुणन है,इसलिए परिणामी आव्यूह $X$ की क

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$1$ कोटि का शून्य आव्यूह

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(C) माना $X = C^T AC$ है। चूँकि $X$,$1 	imes n$ आव्यूह का $n 	imes n$ आव्यूह और फिर $n 	imes 1$ आव्यूह के साथ गुणन है,इसलिए परिणामी आव्यूह $X$ की कोटि $1 	imes 1$ है। $X$ का परिवर्त (transpose) लेने पर,हमें $X^T = (C^T AC)^T = C^T A^T (C^T)^T = C^T A^T C$ प्राप्त होता है। चूँकि $A$ एक विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए $A^T = -A$ होता है। अतः,$X^T = C^T (-A) C = -(C^T AC) = -X$ है। चूँकि $X$ एक $1 	imes 1$ आव्यूह है,माना $X = [k]$ है। तो $X^T = [k]$ होगा। $X^T = -X$ की शर्त का अर्थ है $[k] = -[k]$,जिसका अर्थ है $k = -k$,इसलिए $2k = 0$,अर्थात $k = 0$ है। इस प्रकार,$C^T AC$ एक $1 	imes 1$ कोटि का शून्य आव्यूह है।

यदि $A$,$n$ कोटि का एक विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) है और $C$,$n \times 1$ कोटि का एक स्तंभ आव्यूह है,तो $C^T AC$ क्या है?

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