यदि f(x) = begin{cases} frac{k cos x}{pi - 2x | vedclass

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Question

(C) किसी फलन $f(x)$ के $x = a$ पर सतत होने के लिए,सीमा $\lim_{x 	o a} f(x) = f(a)$ होनी चाहिए।यहाँ $f(x)$ बिंदु $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए $

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(C) किसी फलन $f(x)$ के $x = a$ पर सतत होने के लिए,सीमा $\lim_{x 	o a} f(x) = f(a)$ होनी चाहिए।यहाँ $f(x)$ बिंदु $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x 	o \frac{\pi}{2}} f(x) = f(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}$ होगा।अब,सीमा की गणना करते हैं: $\lim_{x 	o \frac{\pi}{2}} \frac{k \cos x}{\pi - 2x}$.माना $x = \frac{\pi}{2} + h$. जैसे ही $x 	o \frac{\pi}{2}$,$h 	o 0$ होगा।इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर: $\lim_{h 	o 0} \frac{k \cos(\frac{\pi}{2} + h)}{\pi - 2(\frac{\pi}{2} + h)} = \lim_{h 	o 0} \frac{k(-\sin h)}{\pi - \pi - 2h} = \lim_{h 	o 0} \frac{-k \sin h}{-2h} = \frac{k}{2} \lim_{h 	o 0} \frac{\sin h}{h}$.चूंकि $\lim_{h 	o 0} \frac{\sin h}{h} = 1$,इसलिए सीमा $\frac{k}{2}$ प्राप्त होती है।इसे $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}$ के बराबर रखने पर,$\frac{k}{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $k = 1$।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{k \cos x}{\pi - 2x}, & x \neq \frac{\pi}{2} \\ \frac{1}{2}, & x = \frac{\pi}{2} \end{cases}$ बिंदु $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,तो $k$ का मान . . . . . . है।

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