यदि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ शून्येतर समतलीय सदिश हैं,तो $[2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \quad 3 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \quad 4 \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}]$ का मान क्या है?

$\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ तीन इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $x \bar{a} + y \bar{b} + z \bar{c} = p(\bar{b} \times \bar{c}) + q(\bar{c} \times \bar{a}) + r(\bar{a} \times \bar{b})$. यदि $(\bar{a}, \bar{b}) = (\bar{b}, \bar{c}) = (\bar{c}, \bar{a}) = \frac{\pi}{3}$, $(\bar{a}, \bar{b} \times \bar{c}) = \frac{\pi}{6}$ और $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ एक दाहिने हाथ की प्रणाली (right-handed system) बनाते हैं, तो $\frac{x+y+z}{p+q+r} = $

$(\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c}) \cdot \{(\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b} - \vec{c})\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S$ उन सभी $(\lambda, \mu)$ का समुच्चय है जिनके लिए सदिश $\lambda \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{i} + 2\hat{j} + \mu \hat{k}$ और $3\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$,जहाँ $\lambda - \mu = 5$,समतलीय हैं,तो $\sum_{(\lambda, \mu) \in S} 80(\lambda^2 + \mu^2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्न भुजाएँ सदिशों $\overrightarrow{OA} = (2, 1, 1)$,$\overrightarrow{OB} = (3, -1, 1)$ और $\overrightarrow{OC} = (-1, 1, -1)$ द्वारा निरूपित हैं। यह . . . . . . घन इकाई है।

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $\vec{r}$ कोई सदिश है,तो $[\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{r}] \vec{a} + [\vec{c} \, \vec{a} \, \vec{r}] \vec{b} + [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{r}] \vec{c} = \dots$