यदि $A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनाएँ इस प्रकार हैं कि $P(\bar{A})=0.75$,$P(A \cup B)=0.65$ और $P(B)=x$,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक मैकेनिक द्वारा $n$वें दिन मशीन का उपयोग करते समय गलती करने की प्रायिकता $P(E_n) = \frac{1}{2^n}$ द्वारा दी गई है। यदि उसने $4$ दिनों तक मशीन चलाई है, तो $4$ में से $3$ दिनों तक उसने कोई गलती न की हो, इसकी प्रायिकता क्या है?

बॉक्स $1$ में $1, 2, 3$ नंबर वाले तीन कार्ड हैं; बॉक्स $2$ में $1, 2, 3, 4, 5$ नंबर वाले पांच कार्ड हैं; और बॉक्स $3$ में $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ नंबर वाले सात कार्ड हैं। प्रत्येक बॉक्स से एक कार्ड निकाला जाता है। मान लीजिए $x_i$ $i$-वें बॉक्स से निकाले गए कार्ड पर की संख्या है,$i = 1, 2, 3$.
$1.$ $x_1 + x_2 + x_3$ विषम होने की प्रायिकता है:
$(A) \frac{29}{105}$ $(B) \frac{53}{105}$ $(C) \frac{57}{105}$ $(D) \frac{1}{2}$
$2.$ $x_1, x_2, x_3$ के समांतर श्रेणी में होने की प्रायिकता है:
$(A) \frac{9}{105}$ $(B) \frac{10}{105}$ $(C) \frac{11}{105}$ $(D) \frac{7}{105}$
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।

यदि दो निष्पक्ष छह-पक्षीय पासों को एक साथ तब तक फेंका जाता है जब तक कि योग $7$ या $11$ न आ जाए,तो $11$ से पहले $7$ आने की प्रायिकता क्या है?

यदि $10$ अलग-अलग गेंदों को $4$ अलग-अलग बक्सों में यादृच्छिक रूप से रखा जाता है,तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि दो बक्सों में क्रमशः $2$ और $3$ गेंदें हों?

एक निष्पक्ष पासे को अनिश्चित काल तक उछाला जाता है। खिलाड़ी $A$ जीतता है यदि दो लगातार उछालों में $3$ या $5$ आता है, और खिलाड़ी $B$ जीतता है यदि दो लगातार उछालों में $1$ या $2$ या $4$ या $6$ आता है। खिलाड़ी $A$ के जीतने की प्रायिकता है: