यदि p_1 और p_2 बिंदु (2,3) से 15 x^2+31 x y+1 | vedclass

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Question

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $15 x^2 + 31 x y + 14 y^2 = 0$ है। द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $15 x^2 + 10 x y + 21 x y + 14 y^2 = 0$ $

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$2$

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(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $15 x^2 + 31 x y + 14 y^2 = 0$ है। द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $15 x^2 + 10 x y + 21 x y + 14 y^2 = 0$ $\Rightarrow 5 x(3 x + 2 y) + 7 y(3 x + 2 y) = 0$ $\Rightarrow (3 x + 2 y)(5 x + 7 y) = 0$. अतः,दो रेखाएँ $L_1: 3 x + 2 y = 0$ और $L_2: 5 x + 7 y = 0$ हैं। $(2,3)$ से $3 x + 2 y = 0$ पर लंब की दूरी $d_1 = \frac{|3(2) + 2(3)|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$ है। $(2,3)$ से $5 x + 7 y = 0$ पर लंब की दूरी $d_2 = \frac{|5(2) + 7(3)|}{\sqrt{5^2 + 7^2}} = \frac{31}{\sqrt{74}}$ है। चूंकि $p_1 > p_2$,इसलिए $p_1 = \frac{31}{\sqrt{74}}$ और $p_2 = \frac{12}{\sqrt{13}}$ है। अब,$p_1^2 + \frac{1}{74} - p_2^2 + \frac{1}{13} = \frac{31^2}{74} + \frac{1}{74} - \frac{12^2}{13} + \frac{1}{13} = \frac{962}{74} - \frac{143}{13} = 13 - 11 = 2$.

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