यदि $P$ और $Q$ ऐसे वर्ग आव्यूह हैं कि $P^{2006} = O$ और $PQ = P + Q$,तो $\det(Q)$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए कि $A$ क्रम $2$ का एक वर्ग आव्यूह है,जहाँ $|A|=2$ और इसके विकर्ण तत्वों का योग $-3$ है। यदि $A^2+xA+yI=0$ को संतुष्ट करने वाले बिंदु $(x, y)$ एक अतिपरवलय पर स्थित हैं,जिसका अनुप्रस्थ अक्ष $x$-अक्ष के समानांतर है,उत्केंद्रता $e$ है और नाभिलंब की लंबाई $\ell$ है,तो $e^4+\ell^4$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $I$ एक $2 \times 2$ क्रम का तत्समक आव्यूह है और $P = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$ है। तो $n \in N$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $P^n = 5I - 8P$ है।

मान लीजिए $A$ और $B$ क्रम $3$ के दो सममित आव्यूह हैं।
कथन $-1$: $A(BA)$ और $(AB)A$ सममित आव्यूह हैं।
कथन $-2$: यदि $A$ का $B$ के साथ आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय है,तो $AB$ एक सममित आव्यूह है।

मान लीजिए कि $A$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक तत्वों का एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इस प्रकार कि $A\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$। तो $\operatorname{det}(A)$ का अधिकतम मान क्या है?

मान लीजिए $B=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ और $A$ एक $2 \times 2$ आव्यूह है जो $\left(A^T\right)^{-1}=A$ को संतुष्ट करता है। यदि $X=A B A^T$ है, तो $A^T X^{2021} A=$