यदि a0 और f(x)=left(frac{a+x}{1+x}right)^{a+ | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन $f(x)=\left(\frac{a+x}{1+x}\right)^{a+1+2x}$ है,जहाँ $a>0$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log f(x) = (a+1+2x) \log \

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$a^{a+1}\left\{\frac{1-a^2}{a}+2 \log a\right\}$

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(B) दिया गया फलन $f(x)=\left(\frac{a+x}{1+x}\right)^{a+1+2x}$ है,जहाँ $a>0$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log f(x) = (a+1+2x) \log \left(\frac{a+x}{1+x}\right)$. $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = 2 \log \left(\frac{a+x}{1+x}\right) + (a+1+2x) \left(\frac{1}{a+x} - \frac{1}{1+x}\right)$. $x=0$ पर मान रखने पर: $\frac{f^{\prime}(0)}{f(0)} = 2 \log \left(\frac{a}{1}\right) + (a+1) \left(\frac{1}{a} - 1\right)$. $\frac{f^{\prime}(0)}{f(0)} = 2 \log a + (a+1) \left(\frac{1-a}{a}\right)$. चूँकि $f(0) = a^{a+1}$,इसलिए: $f^{\prime}(0) = a^{a+1} \left[ 2 \log a + \frac{(a+1)(1-a)}{a} \right]$. $f^{\prime}(0) = a^{a+1} \left[ 2 \log a + \frac{1-a^2}{a} \right]$. अतः,सही विकल्प $B$ है।

यदि $a>0$ और $f(x)=\left(\frac{a+x}{1+x}\right)^{a+1+2x}$ है,तो $f^{\prime}(0)=$

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$x$ के सापेक्ष फलन का अवकलन कीजिए: $x^{\sin x}+(\sin x)^{\cos x}$

यदि $y = [(x+1)(2x+1)(3x+1) \ldots (nx+1)]^{\frac{3}{2}}$ है,तो $x=0$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

कथन $(A)$: $\frac{d}{d x}\left(\frac{x^2 \sin x}{\log x}\right)=\frac{x^2 \sin x}{\log x} \left(\cot x+\frac{2}{x}-\frac{1}{x \log x}\right)$
कारण $(R)$: $\frac{d}{d x}\left(\frac{u v}{w}\right)=\frac{u v}{w}\left[\frac{u^{\prime}}{u}+\frac{v^{\prime}}{v}-\frac{w^{\prime}}{w}\right]$

यदि $y=\sqrt{\frac{1-\sin ^{-1}(x)}{1+\sin ^{-1}(x)}}$ है,तो $x=0$ और $y=1$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y = [(x+1)(2x+1)(3x+1) \ldots (nx+1)]^2$ है,तो $x=0$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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