यदि int frac{5 cot x+1}{(cot x-1)(cot x-2) si | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{5 \cot x+1}{(\cot x-1)(\cot x-2) \sin ^2 x} d x$. $\cot x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$-\operatorname{cosec}^2 x d x = d t$,जिस

Vedclass · Accepted Answer

$\left(\cot x-1,(\cot x-2)^{-1}\right)$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{5 \cot x+1}{(\cot x-1)(\cot x-2) \sin ^2 x} d x$. $\cot x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$-\operatorname{cosec}^2 x d x = d t$,जिसका अर्थ है $\operatorname{cosec}^2 x d x = -d t$. अतः,$I = -\int \frac{5t+1}{(t-1)(t-2)} dt$. आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{5t+1}{(t-1)(t-2)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t-2}$. $5t+1 = A(t-2) + B(t-1) = (A+B)t - (2A+B)$. गुणांकों की तुलना करने पर,$A+B = 5$ और $2A+B = -1$. इन्हें हल करने पर,$A = -6$ और $B = 11$ प्राप्त होता है। इसलिए,$I = -\int \left( \frac{-6}{t-1} + \frac{11}{t-2} \right) dt = 6 \int \frac{dt}{t-1} - 11 \int \frac{dt}{t-2}$. $I = 6 \log |t-1| - 11 \log |t-2| + c = 6 \log |\cot x - 1| + 11 \log |(\cot x - 2)^{-1}| + c$. $6 \log |f(x)| + 11 \log |g(x)| + c$ से तुलना करने पर,$f(x) = \cot x - 1$ और $g(x) = (\cot x - 2)^{-1}$ प्राप्त होता है। अतः,$(f(x), g(x)) = (\cot x - 1, (\cot x - 2)^{-1})$.

यदि $\int \frac{5 \cot x+1}{(\cot x-1)(\cot x-2) \sin ^2 x} d x = 6 \log |f(x)|+11 \log |g(x)|+c$ है,तो $(f(x), g(x))=$

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यदि $\int \frac{2 x^{2}+3}{\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}+4\right)} d x=a \log \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+b \tan ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+C$ है,तो

$\int \frac{3 x-2}{(x+1)^{2}(x+3)} d x$ ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{d x}{\sin x+\sin 2 x}=$

मान लीजिए $I(x) = \int \frac{(x+1)}{x(1+x e^x)^2} dx, x > 0$. यदि $\lim_{x \rightarrow \infty} I(x) = 0$ है,तो $I(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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