यदि I(x) = int x^2(log x)^2 dx और I(1) = 0 है | vedclass

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Question

(C) हमें समाकलन $I(x) = \int x^2(\log x)^2 dx$ दिया गया है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = (\log x)^2$ और $dv = x^2 d

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$\frac{x^3}{27}[9(\log x)^2 - 6 \log x + 2] - \frac{2}{27}$

Vedclass · Answer

(C) हमें समाकलन $I(x) = \int x^2(\log x)^2 dx$ दिया गया है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = (\log x)^2$ और $dv = x^2 dx$ है,हमें $du = \frac{2 \log x}{x} dx$ और $v = \frac{x^3}{3}$ प्राप्त होता है।$I(x) = \frac{x^3}{3}(\log x)^2 - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{2 \log x}{x} dx$$I(x) = \frac{x^3}{3}(\log x)^2 - \frac{2}{3} \int x^2 \log x dx$$\int x^2 \log x dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log x$ और $dv = x^2 dx$ लेने पर:$\int x^2 \log x dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C_1$इस मान को $I(x)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:$I(x) = \frac{x^3}{3}(\log x)^2 - \frac{2}{3} [\frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9}] + C$$I(x) = \frac{x^3}{3}(\log x)^2 - \frac{2x^3}{9} \log x + \frac{2x^3}{27} + C$$I(x) = \frac{x^3}{27} [9(\log x)^2 - 6 \log x + 2] + C$चूंकि $I(1) = 0$ दिया गया है,$x = 1$ रखने पर:$I(1) = \frac{1}{27} [9(0)^2 - 6(0) + 2] + C = 0$$\frac{2}{27} + C = 0 \Rightarrow C = -\frac{2}{27}$अतः,$I(x) = \frac{x^3}{27} [9(\log x)^2 - 6 \log x + 2] - \frac{2}{27}$.

यदि $I(x) = \int x^2(\log x)^2 dx$ और $I(1) = 0$ है,तो $I(x)$ क्या होगा?

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