यदि $\overrightarrow{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\overrightarrow{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ और $\overrightarrow{c} = 7\hat{i} + 9\hat{j} + 11\hat{k}$ है,तो $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ विकर्णों वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

यदि $\theta$,$\vec{f}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ और $\vec{g}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+a \hat{k}$ के बीच का कोण है और $\sin \theta=\sqrt{\frac{24}{28}}$ है,तो $7 a^2+24 a=$

माना $\overrightarrow{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$.
अभिकथन $(A)$ : सर्वसमिका $|\overrightarrow{a} \times \hat{i}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{j}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{k}|^2=2|\overrightarrow{a}|^2$,$\overrightarrow{a}$ के लिए सत्य है।
तर्क $(R)$ : $\overrightarrow{a} \times \hat{i}=a_3 \hat{j}-a_2 \hat{k}$,$\overrightarrow{a} \times \hat{j}=a_1 \hat{k}-a_3 \hat{i}$,और $\overrightarrow{a} \times \hat{k}=a_2 \hat{i}-a_1 \hat{j}$.
निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

यदि $\triangle ABC$ के शीर्षों के स्थिति सदिश क्रमशः $3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}$, $\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$ और $5(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ हैं, तो $A$ से भुजा $BC$ पर डाले गए शीर्षलंब का परिमाण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A(2, 3, 0)$, $B(0, 3, 2)$ और $C(4, 0, 3)$ एक त्रिभुज के शीर्ष हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$, $\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c}$ एक इकाई सदिश है जो $\vec{a}$ के लंबवत है और $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के साथ समतलीय है, तो $\vec{a}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\vec{d}$ क्या है?