यदि z_1=2-3i और z_2=-1+i है,तो आर्गंड समतल मे | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $z_1=2-3i$ और $z_2=-1+i$। शर्त $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=\frac{\pi}{2}$ का अर्थ है कि सदिश $z-z_1$,सदिश $z-z_2$ के सापेक्

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$x^2+y^2-x+2y-5=0$ और $4x+3y+1 > 0$

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(D) दिया गया है $z_1=2-3i$ और $z_2=-1+i$। शर्त $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=\frac{\pi}{2}$ का अर्थ है कि सदिश $z-z_1$,सदिश $z-z_2$ के सापेक्ष $\frac{\pi}{2}$ कोण पर वामावर्त दिशा में है। इसका मतलब है कि $\angle z_1 z z_2 = \frac{\pi}{2}$ है।अतः,$z$ का बिंदुपथ $z_1 z_2$ व्यास वाला एक वृत्त है,जिसमें बिंदु $z_1$ और $z_2$ शामिल नहीं हैं।व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।यहाँ,$z_1 = (2, -3)$ और $z_2 = (-1, 1)$ है।$(x-2)(x+1) + (y+3)(y-1) = 0$$x^2 - x - 2 + y^2 + 2y - 3 = 0$$x^2 + y^2 - x + 2y - 5 = 0$.तर्क (argument) को ठीक $\frac{\pi}{2}$ होने के लिए,बिंदु $z, z_1, z_2$ को वामावर्त क्रम में एक त्रिभुज बनाना चाहिए। यह शर्त बिंदुपथ को $z_1$ और $z_2$ से गुजरने वाली रेखा के एक तरफ के अर्धवृत्त तक सीमित करती है।$z_1(2, -3)$ और $z_2(-1, 1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $4x+3y+1=0$ है।वृत्त के अंदर का बिंदु $(0,0)$ लेने पर: $4(0)+3(0)+1 = 1 > 0$। अतः,शर्त $4x+3y+1 > 0$ है।

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