જો C_r એ દ્વિપદી સહગુણક { }^{n} C_r દર્શાવતું | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ પદાવલિ ધ્યાનમાં લો: $S = \sum_{r=0}^n (3r-1) C_r^2$.આપણે જાણીએ છીએ કે $C_r^2 = C_r \cdot C_{n-r}$.તેથી,$S = 3 \sum_{r=0}^n r C_r^2 - \sum_{r=

Vedclass · Accepted Answer

$\left(\frac{3 n-2}{2}\right){ }^{2 n} C_n$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ પદાવલિ ધ્યાનમાં લો: $S = \sum_{r=0}^n (3r-1) C_r^2$.આપણે જાણીએ છીએ કે $C_r^2 = C_r \cdot C_{n-r}$.તેથી,$S = 3 \sum_{r=0}^n r C_r^2 - \sum_{r=0}^n C_r^2$.નિત્યસમ $\sum_{r=0}^n C_r^2 = { }^{2n} C_n$ અને $r C_r = n { }^{n-1} C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = 3 \sum_{r=1}^n n { }^{n-1} C_{r-1} C_r - { }^{2n} C_n$.$S = 3n \sum_{r=1}^n { }^{n-1} C_{r-1} { }^{n} C_{n-r} - { }^{2n} C_n$.સરવાળો $\sum_{r=1}^n { }^{n-1} C_{r-1} { }^{n} C_{n-r}$ એ $(1+x)^{n-1}(1+x)^n = (1+x)^{2n-1}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{n-1}$ નો સહગુણક છે,જે ${ }^{2n-1} C_{n-1}$ છે.આમ,$S = 3n { }^{2n-1} C_{n-1} - { }^{2n} C_n$.કારણ કે ${ }^{2n-1} C_{n-1} = \frac{n}{2n} { }^{2n} C_n = \frac{1}{2} { }^{2n} C_n$,તેથી:$S = 3n \left( \frac{1}{2} { }^{2n} C_n \right) - { }^{2n} C_n = \left( \frac{3n}{2} - 1 \right) { }^{2n} C_n = \left( \frac{3n-2}{2} \right) { }^{2n} C_n$.

જો $C_r$ એ દ્વિપદી સહગુણક ${ }^{n} C_r$ દર્શાવતું હોય,તો $(-1) C_0^2+2 C_1^2+5 C_2^2+\ldots+(3 n-1) C_n^2$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $1 + (2 + {}^{49}C_{1} + {}^{49}C_{2} + \dots + {}^{49}C_{49})({}^{50}C_{2} + {}^{50}C_{4} + \dots + {}^{50}C_{50})$ એ $2^{n} \cdot m$ બરાબર હોય,જ્યાં $m$ એકી સંખ્યા છે,તો $n + m$ ની કિંમત શોધો.

જો $\left(1+\frac{1}{x}\right)^6\left(1+x^2\right)^7\left(1-x^3\right)^8 ; x \neq 0$ ના વિસ્તરણમાં $x^{30}$ નો સહગુણક $\alpha$ હોય,તો $|\alpha|$ ની કિંમત શોધો.

$(1 + t^2)^{10}(1 + t^{10})(1 + t^{20})$ ના વિસ્તરણમાં $t^{20}$ નો સહગુણક શોધો.

શ્રેણી $2 \times 1 \times {}^{20}C_4 - 3 \times 2 \times {}^{20}C_5 + 4 \times 3 \times {}^{20}C_6 - 5 \times 4 \times {}^{20}C_7 + \dots + 18 \times 17 \times {}^{20}C_{20}$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

શ્રેણી $\sum\limits_{r = 0}^n {(-1)^r \, ^nC_r \left( \frac{1}{2^r} + \frac{3^r}{2^{2r}} + \frac{7^r}{2^{3r}} + \frac{15^r}{2^{4r}} + \dots + m \text{ પદો} \right)}$ નો સરવાળો શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module